“熵”-黑洞无毛却有熵

热统系列之6

上世纪70年代初，美国普林斯顿大学。惠勒教授和他的一个博士研究生正在悠然自得地喝下午茶。惠勒突发奇想，问学生：“如果你倒一杯热茶到黑洞中，会如何？”惠勒的意思是说，热茶既有热量又有熵，但一切物质被黑洞吞下后就消失不见了，造成总体的“熵值”似乎不是增加而是减少了，这不是有悖热力学第二定律吗？

当时爱因斯坦已经去世17年，国际上的许多理论物理学家并不看好对引力理论的深入研究，已经将热点转向基本粒子还原论的角逐竞赛中。研究广义相对论的“遗老遗少”们，主要是三位带头人和他们的徒子徒孙：莫斯科的泽尔多维奇（YakovBorisovich Zel'dovich，1914
987）、英国的夏玛（Dennis Sciama，1926
999），以及上文中谈及的美国普林斯顿的惠勒。普林斯顿毕竟是爱因斯坦工作生活过二十几年的地方，广义相对论在那儿影响颇大，爱因斯坦死后，惠勒教授成为引力理论研究的带头人，那个和惠勒在一起喝茶的年轻学生，是后来提出黑洞熵，成为黑洞热力学奠基人之一的以色列裔美国物理学家雅各布・贝肯斯坦（JacobBekenstein，1947年-2015年）。

指导教授的问题，令年轻学子日夜苦思，也激发了他无比的想象力。贝肯斯坦认为，为了保存热力学第二定律，黑洞一定要有“熵”！但根据爱因斯坦广义相对论所预言的“经典黑洞”，是无毛的，看起来似乎无熵可言！

实际上，也正是惠勒教授，提出并命名了“黑洞无毛定理”^【1】。这个定理是对经典黑洞简单性的叙述，它说的是，无论什么样的天体，一旦塌缩成为黑洞，它就只剩下电荷、质量和角动量三个最基本的性质。质量M产生黑洞的视界；角动量L是旋转黑洞的特征，在其周围空间产生涡旋；电荷Q在黑洞周围发射出电力线，这三个物理守恒量唯一地确定了黑洞的性质。因此，也有人将此定理戏称为“黑洞三毛定理”。

据说黑洞一词以及黑洞无毛的说法，一开始都被部分专业人士所抵制，认为暗含了某种淫秽的意义，有伤风化，难登科学理论大雅之堂。但社会大众的反应有时候是科学家们难以预料的。人们欣然地接受并喜爱这两个词汇，没人笑话，也很少人往歪处去联想。反之，这两个词汇催生了不计其数的科幻作品，让神秘高雅的科学概念走向普通民众。事实证明，那些莫名其妙的“抵制”只是庸人自扰。

物理规律用数学模型来描述时，往往使用尽量少的参数来简化它。但这儿的“黑洞三毛”有所不同。“三毛”并不是对黑洞性质的近似和简化，而是经典黑洞只有这唯一的三个性质。原来（引力塌缩之前）星体的各种形状（立方体、锥体、柱体，及各种不规则形）、大小、磁场分布、物质构成的种类等等，都在引力塌缩的过程中丢失了。对黑洞视界之外的观察者而言，只能看到这三个（M、L、Q）物理性质。

黑洞既然只有简单的“三根毛”，熵，这个代表微观信息不确定度的物理量在哪儿呢？当时，与英国人夏玛团队有关的两位物理学家的工作给了贝肯斯坦启迪。一是彭罗斯1969年提出的“彭罗斯过程”^【2】，二是1972年霍金证明了：黑洞视界的表面积永远不会减少^【3】。

彭罗斯设想，向一个旋转黑洞发送某种中介粒子，它在穿过视界时将碎裂成两部分，一部分进入视界而另一部分飞离。彭罗斯经过计算，发现使用这种方法在一定的条件下可以从黑洞中提取能量，这叫做“彭罗斯过程”，或彭罗斯机制。霍金则从数学上证明了，如果两个黑洞合而为一，合并后的黑洞面积不会小于原先两个黑洞面积之和。

黑洞视界总面积不会减少的结论太类似“熵不会减少”的热力学第二定律了！贝肯斯坦由此而猜想黑洞的熵应该与视界面积成正比^【4】。

贝肯斯坦的黑洞熵概念使得“熵增加原理”对黑洞仍然成立，比如说，当你扔进黑洞一些物质，例如像惠勒问题中所说的一杯茶。之后，黑洞获得了质量，黑洞的面积是和质量成正比的，质量增加使得面积增加，因而熵也增加了。黑洞熵的增加抵消了被扔进去的茶水的熵的丢失。

我们无需完全重复贝肯斯坦当年的思路和计算，而用以下的解释来粗略理解黑洞熵。

假设质量M、角动量L、电荷Q算是经典黑洞的三个宏观物理量。最简单的情况：L和Q都为0的史瓦西黑洞，如上图所示，黑洞的史瓦西半径由其质量M决定：R_sch = 2GM/c²。

作为微观信息量量度的“熵”，应该与黑洞能量的微观分布有关，因为黑洞有质量M，根据爱因斯坦质能公式，黑洞的总能量为E=Mc²。另外从量子力学可知，能量都是量子化的，任何物理系统都应该有一个最小的能量单元。对黑洞而言，不管它是否有一个“微观结构”，却应存在一个最小能量值E_最小 = hc/λ=hc/2R_sch。这个值对应于半波长等于黑洞的史瓦西半径的光子的能量。为什么是最小的能量呢？因为波长越大，光子的能量越小，只有半波长小于史瓦西半径的光子才能被黑洞吞噬，才能在黑洞中存在。那么，黑洞中包含的这个最小能量单元（光子）的数目N，便与黑洞的熵S有关。

N =E/E_最小= 4GM²/(hc)

黑洞视界的面积：

A = 4π(R_sch)² = 16πG²M²/c⁴

因此可得：N = Ac³/(4πhG)

光子的数目N决定了微观状态的数目n= 2^N，光子的两个极化态类似于硬币的两面，即包含1比特的信息量，所以，可得黑洞熵S_BH正比于视界的表面积：

S_BH= klog(n) = klog(2^N) = kN bit = kAc³/(4πhG)

参考文献：

【1】CharlesMisner, Kip Thorne, and John Wheeler, Gravitation[M].. W H Freeman. 1973.

【2】R.Penrose, R.M.Floyd，Extraction of Rotational Energy froma Black Hole,

Naturephysical science 229, 177-179 (08 February 1971)

【3】Bardeen,J. M.; Carter, B.; Hawking, S. W. The four laws of black hole mechanics. Comm.Math. Phys. 31 (1973), no. 2, 161--170.

【4】Bekenstein,Jacob D. (April 1973). "Black holes and entropy". Physical Review D 7(8): 233346.