读读欧拉吧，他是我们大家的老师

按：写欧拉的科普文章和书籍很多了，下面拙文没什么新的史料发现，权作一篇科普稿子。大约2009年，通过自然科学史研究所邹大海老师联系，让我们几位学生（当时笔者为博士生）为一出版社写一科普书（每人完成几篇，大概如此，记不清了）。后来我们完成后，不知什么原因，此事就没了结果。我便把几篇小文修改后投给《中学生百科》杂志，这篇刊登在2009年第7期上，标题作：他是我们大家的老师。发表时有删节，下文为完整版。

在科学史上，17世纪属于牛顿，18世纪则是欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）的天下。他是历史上最多产的数学家，一生完成的论文和著作有886篇或部（生前发表了500多），其中数学著作占了一大半。正如贝多芬耳聋之后并未阻挡他对音乐创作的激情一样，欧拉在晚年双目失明的17年中，依然保持了惊人的创造力，依靠口述完成了大量的著作和论文。我们不能把欧拉看作纯粹的数学家，他在物理学、天文学领域均有很深的造诣，在生理学和文学方面，也是知识渊博的学者。

图1 欧拉的一幅画像（据画像，应该是在其右眼失明之后）

1707年4月15日，欧拉生于瑞士的巴塞尔。欧拉的父亲是一位牧师，早年毕业于巴塞尔大学，曾经是数学家雅各布・伯努利的学生，并与伯努利家族（这一家人全是数学家）有几份交情。因此欧拉小时候经常和雅各布的两位侄子，也就是约翰・伯努利的两个儿子尼古拉和丹尼尔一起玩，他也逐渐喜欢上了数学。父亲打算让欧拉学习神学，以便接替他在教堂的职位，因为那时候牧师、医生和律师是比较体面的职业。1720年，13岁的欧拉进入巴塞尔大学学习神学，他在数学上的天赋很快引起了约翰的注意，约翰慷慨决定每周末单独辅导欧拉一次，欧拉非常珍视这样的机会，每次他都把问题想得很深入，并且带尽可能少的问题去请教老师。在约翰的精心指导下，欧拉的数学突飞猛进。1724年，17岁的欧拉获得了硕士学位，父亲执意要他做牧师，但在伯努利家族的劝说下，最终父亲同意了让欧拉研究数学。

图2 多面体欧拉公式（e为顶点数，k为棱数，f为面数；左为正二十面体）

1727年，欧拉就要小试牛刀了。当时欧洲的科学院有个惯例，就是根据政府的实际问题设奖求解。那年，巴黎科学院就“在船上安装桅杆”的问题设奖征答。欧拉提交了一篇论文，但没能获得奖金，仅得到了荣誉提名奖，原因可能是他当时压根就没有见到过一艘船。之后，他向巴塞尔大学的教授职位提出申请，结果又失败了。欧拉并没有灰心，因为当时在圣彼得堡科学院任职的丹尼尔和尼古拉告诉欧拉，圣彼得堡科学院的医学部有个职位，让他前去应聘。欧拉为此一头钻进了生理学，为此还跑去旁听巴塞尔大学的生理学课。等他到了圣彼得堡时，恰逢俄国女皇叶卡捷琳娜去世，科学院一片混乱，医学部的职位也没人管了，欧拉趁机进了数学部，埋头于他心爱的数学研究中，1731年成为教授。1733年，在丹尼尔返回瑞士后，欧拉接替他担任了科学院数学部的领导职责。那一年欧拉娶了一位画师的女儿，他像喜欢数学一样喜欢孩子，他前后结过两次婚，一共有13个孩子，不过只有5个幸存了下来。欧拉是科学史上为数不多的可以在任何地点、任何情况下进入工作状态的科学家，他常常一手抱着婴儿，一边写他的数学论文，稍大的孩子就围在他的身边嬉戏。在圣彼得堡，欧拉勤奋地工作，公开发表了55篇论文（实际完成近百篇），出版了他的第一本著作《力学》，还参与了俄国政府分配的许多额外工作，比如编写教材，改革度量衡、设计拱桥等。由于过度劳累，在1735年的一场病后，他的右眼失明了（注：经核实，其右眼失明的年代说法不一，有说1735年，有说1738年）。1741年俄国政局陷入混乱，科学院被一些不学无术的人所把持，欧拉愤然离开俄国，到了普鲁士的柏林科学院。

欧拉在柏林期间，完成了300多篇论文和大量著作。值得一提的是欧拉不但是数学研究的巨匠，还是一位杰出的科普大师，他拥有化腐朽为神奇的力量，能把艰深的科学知识以明白畅晓的形式表达出来，而且文字优美，有“数学家中的莎士比亚”之美誉。在普鲁士期间，他以通信的形式辅导一位公主物理、哲学、音乐、逻辑、伦理等知识，后来这些通信以《给一位德国公主的信》出版，因其文笔优美、通俗易懂而在欧洲广为传播。1766年，在俄国女皇叶卡捷琳娜二世的盛邀之下，欧拉重返俄国圣彼得堡，这次欧拉得到了优厚的待遇，皇室提供了一套可供他们全家18口居住的房子，家具一应俱全，还配备了一名皇家的厨子。不过倒霉的事迅速包围了欧拉，到圣彼得堡不久，欧拉的左眼因患白内障而失明，他完全陷入了黑暗的深渊。1771年，圣彼得堡的一场大火又差点要了他的命，多亏了他的仆人腿脚利索，才把他背出来，可惜的是他的许多手稿成了灰烬。但这些都未能阻止他在数学上探索的脚步，欧拉似乎是为数学而生的，在双目失明的情况下，凭着自己超强的记忆力和顽强的毅力，先是通过粉笔把公式写在一块很大的石板上，然后口授，由他的儿子笔录来完成论著。厄运并没有阻挡欧拉探索数学奥秘的脚步，相反，他在双目失明之后，完成了400多篇论文，这段时间反而成了他一生创作的高峰期。欧拉从来不服从命运的安排，他说如果命运是块顽石，他就是一把大铁锤，要把这块顽石砸得粉碎。欧拉的心算能力和记忆能力在数学家中是罕见的，一次他的两个学生在计算17项数字之和时发生了争执，原来两人的计算结果在第50位数字不同。为了做出裁决，双目失明的欧拉通过心算很快就得出了正确结果。也难怪法国物理学家阿拉果说，欧拉计算时毫不费力，就像人呼吸、或者鹰在风中保持平衡一样。

1783年9月18日下午，欧拉计算了关于气球上升轨迹的问题，然后和家人吃晚饭，饭桌上还谈起了天王星的轨道问题。饭后他一边喝茶一边和孙子们玩耍，突然，他的烟袋掉在地上，他留给后人的最后一句话是：“我要死了”，说完便停止了呼吸。

欧拉在数学上的成就包罗万象，包括造船、金融、历法、绘图等应用性非常强的领域。数学的分支中处处可以见到以欧拉命名的数学名词，比如欧拉常数、欧拉线、欧拉函数、欧拉方程、欧拉公式、欧拉定理等。不过，如果提到欧拉最重要的数学成就，那是数学分析，《欧拉全集》中的数学部分有30分卷，其中17卷有关数学分析。数学分析是18世纪数学的主题，欧拉被同时代的人誉为“分析的化身”。

下面这些数学符号，可都是欧拉创造的或者由他推广而使用的：

π：圆周率，是圆的周长除以直径所得值，大约等于3.14，注意了，它可不论你的圆多大多小，一律得3.14的。

i：虚数的单位，它有个奇怪的特性，就是i×i或者说i²等于－1。最初人们认为它是与现实世界毫无关系的数，因为在乘法中正正得正，负负也得正，偏偏i×i=－1，有些不伦不类，所以被称为“虚构的数”，简称虚数。

e：它叫自然对数的底，你现在可以不深究它的含义，但以后你会知道，在数学符号中它的地位仅次于π，其值大约是2.718。

Σ：这个符号的读音很有趣，读作：西格马，它的意思是对后面的数值进行求和运算，当你求众多个数之和时，它会省下写很多个“+”的麻烦。如果你乐意，可以把你的早餐简单写作Σ（一袋鲜奶，两块面包），没准你可以因此晕倒一批数学家呢。

欧拉不但善于创造符号，而且能够完美地把数学符号统一到一个公式中，被誉为最美的数学公式就是欧拉等式：

e^iπ+1=0

这个等式其实是前面我们提到的欧拉公式的一个特殊情况，这个等式把数学中最重要的五个数e、i

π、0、1以如此简洁的形式联系在了一起，令人惊叹不已。

对于如此博大的欧拉，法国大数学家拉普拉斯由衷地说：“读读欧拉吧，他是我们大家的老师。”

（Pierre-Simon Laplace said, read Euler, read Euler, he is the master of us all.）

附图3：瑞士法郎上的欧拉

钞票正面是一对啮合的齿轮，应该寓意欧拉在渐开线齿轮方面的研究，他是这方面的开拓者。

在钞票背面上有一个太阳系图，不确切是不是指欧拉在太阳、地球、月球三体问题上的贡献。在科学史上，他是第一个用近似计算方法解决此问题的人。另外，图上又有彗星，也可能指欧拉在1735年计算了一颗彗星轨道的问题。或者两者兼而有之。

背面上的透镜与光的折射应该反映是1771年欧拉出版的《屈光学》成就，具体指什么，还请专家指教。

背面背景上的锥形器（？）应该寓意欧拉在流体力学方面的贡献――这条也不确定。