论数学证明与数学真理性

标题看起来似乎是个显而易见的平凡话题，其实不然，“什么叫数学证明”是个数学哲学问题。我学了多年的数学，对这个问题也是一知半解，应网友要求，顺便思考一下，谈谈自己的理解。

什么叫数学证明？简单地说，是在特定的公理系统中按照某种规则或标准（逻辑系统）由公理或已经被证明的结论（定理或命题）推导出的命题，数学证明通常依靠演绎推理。

从证明形式的角度看，数学分形式化与非形式化两种证明，形式化的证明依赖于一套特殊的符号语言，它不能有任何逻辑上的模棱两可之处，否则这种证明就被认为是不严格的或者有漏洞，数学研究工作者使用的就是形式化的证明。非形式化的证明是用来说服普通大众接受某个结论的相对比较严格的自然语言，这种证明的严密性取决于证明者所使用的语言以及受众对这种语言理解的程度，这类证明通常出现在科普讲座等不需要严格数学化的场合。

从演绎的过程看，数学证明需要符合几个条件：

1、数学证明具有一般性，演绎过程必须是针对所涉及的全部数学对象而言，无一例外。

2、所使用的逻辑体系需要是公认的，演绎方法必须是正确的。

3、证明所使用的论据必须是正确的，例如你证明过程中使用的命题必须是经过证明是正确的。

4、概念必须是清晰的，不能带有歧义。

5、问题的转换必须是等价的，不能偷换概念或问题的内涵。

6、结论必须是明确的，不仅可以进行重复检验或逻辑验证，而且人们根据这个结论不能推出相互矛盾的结果。

7、结论必须具有普适性，不能有任何例外。

       数学证明的典型特征是依赖于特定的公理体系与逻辑体系，历史上的第二次数学危机之所以产生，其内在的矛盾就在于使用了不同的逻辑，贝克莱使用形式逻辑质疑牛顿的无穷小，而牛顿或许自己也没有意识到他的问题本质上在于所使用的逻辑体系不同。事实上，微积分堪称运用辩证逻辑的典范，虽然后来柯西将微积分语言严格化从而平息了争论，使得微积分得到了普遍的认同并成为数学史上最伟大的发明创造，但微积分所采用的逻辑体系并没有变化。所以严格意义上讲，数学理论无所谓真与伪，只要逻辑上是自洽的，就可以认为这套理论是正确的，例如，你可以假定鬼是存在的，于是可以演绎出一系列类似聊斋的鬼故事，这正是数学与自然科学本质不同的地方。自然科学是实证科学，只要绝大多数的重复试验可以验证某个结论，哪怕偶有例外，都可以认为这个结论为真，否则就是伪结论。

当然，从方法论意义上讲，数学与自然科学有相通之处，而且很多数学问题来自于自然科学，所以很多数学理论与自然科学理论非常吻合，因而便有了数学是不是真理之问。以我所见，出现这样的现象与数学是不是真理没有关系，而是缘于数学使用了与现实相吻合的前提以及合适逻辑的结果。换句话说，数学只论正确与错误，不论真理与谬误。

也许有人会提出质疑，既然数学不论真伪，如何理解“数学是科学之母”？众所周知，任何问题都需要采用合适的语言来表达，也需要使用适当的方法去处理，数学是自然科学一种普适的语言符号，也是定量处理科学问题的有效方法，还是思考很多科学问题的通用逻辑，所以把数学称为科学之母是有道理的。但这仍然不能说明数学的真理性，因为根据数学理论与方法演绎或计算出来的结论是否是真理最终依然需要科学来检验。正是因为数学与自然科学之间这种纠缠不清的关系使得人们将数学的正确与错误与科学的真理与谬误混为一谈。

与数学不同的是，自然科学有着很多的偶然性与不确定性，所以自然科学作为实证性科学，并不像数学那样追求逻辑的严密性与结论的普适性，所以当人们运用数学分析自然科学中的问题时，不适宜像追求数学结论的完美性那样追求科学结论的完美性。

数学证明作为建立数学理论的主要手段，对于数学教育无疑是十分重要的。但正如前面所说，数学证明分形式化与非形式化两种情形，数学教育该采用哪种形式？我以为，应该两种形式并举。非形式化证明可以帮助学生理解问题的本质，培养数学直觉与数学思辨能力，形式化证明可以培养学生的演绎与运算能力以及数学的严谨性。

（未完待续）